Олимпиадные задачи

Задача С1 (5 баллов)

Ящик с квадратными основаниями, в верхней части со стороной b и нижней части со стороной a, имеет откидывающуюся на шарнирах квадратную крышку со стороной b. При каком соотношении сторон a и b, ящик не опрокинется при любом положении крышки? Масса ящика в три раза больше массы крышки, центры тяжести ящика и крышки находятся в их геометрических центрах.

Задача С2 (10 баллов)

Невесомые стержни 1 и 2 в точке К соединены шарниром. К стержню 2 в точке Е прикреплена невесомая нить, перекинутая через блок 4. К концу нити подвешен груз 3. Массы груза 3 и блока 4 равны, радиус блока равен R, КВ = 2R, AK =3R. Найти, каким должно быть расстояние АС, чтобы реакции шарниров отличались вдвое.

Задача С3 (15 баллов)

Три одинаковых однородных диска радиуса R расположены в вертикальной плоскости, как указано на рисунке. Коэффициент трения между дисками, а также опорной поверхностью равен f. Определить максимальное расстояние L между центрами нижних дисков и область допустимых значений коэффициента трения при равновесии системы.

Задача К1 (5 баллов)

Точка движется по закону x=e^4t; y=16t². Через сколько секунд ускорение точки будет направленно под углом 45⁰ к оси х?

Задача К2 (5 баллов)

 Пластинка в виде равностороннего треугольника CDO вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг точки O. К треугольнику в точках С и D шарнирно присоединены стержни, концы A и В которых двигаются вдоль горизонтальной оси x. Найти расстояние АВ, как функцию времени, если AC=CD=DB=a.

Задача К3 (15 баллов)

 Диск катится с проскальзыванием с постоянной угловой скоростью. Радиус диска R, ОА=R/2, точки А и В имеют одинаковые скорости и одинаковые ускорения. Найти соотношение между скоростями между ускорениями точек C и D.

Задача Д1 (10 баллов)

Шарик массой m подвешен на невесомой нерастяжимой нити. Его отклоняют на угол 90⁰ и отпускают без начальной скорости. При каком угле альфа нити с вертикалью вектор ускорения шарика будет направлен горизонтально.

Задача Д2 (10 баллов)

Однородный диск массой m₁ и радиусом R, вращаясь вокруг неподвижной оси О под действием момента М, с помощью нерастяжимой нити приводит в движение груз массой m₂. Определить горизонтальную составляющую реакции шарнира О, если коэффициент трения скольжения для груза равен f. Трением в оси диска пренебречь.

Задача Д3 (10 баллов)

Груз 1 имеет массу m и поднимается по вертикальному стержню при помощи троса, перекинутого через блок 2, отстоящий от стержня на расстояние l. Определить зависимость силы натяжения T троса от расстояния х, если трос наматывается на равномерно вращающийся барабан 3 с линейной скоростью v₀. Коэффициент трения между грузом и стержнем f.

Задача Д4 (15 баллов)

Однородный стержень ОА длиной l шарнирно соединен с ползуном в точке О, который может двигаться вдоль горизонтальной оси Ох. Массы ползуна и стержня равны m. Стержень из горизонтального состояния начинает падать под действием силы тяжести, приводя в движение ползун. Найти угловую скорость стержня в тот момент, когда он займет вертикальное положение. Так же определить перемещение ползуна S к этому времени. Трение не учитывать.