Олимпиадные задачи

Задача С1 (5 баллов)

Система расположена в вертикальной плоскости. Однородные стержни OA и АВ имеют массы m₁ и m₂ соответственно. Угол альфа задан. Точки D и K соединены нитью; OD = DA, AK = KB. Система находится в равновесии в показанном на рисунке положении. Найти натяжение T нити DK.

Задача С2 (10 баллов)

Однородная квадратная плита OADB массой M удерживается в равновесии цилиндрическими шарнирами A, B и неподвижным тонким гладким стержнем,  на который она опирается по всей своей ширине. К краю плиты прикреплена тяжелая точка T. Длина каждой стороны плиты равна l; стержень параллелен стороне OB и находится на расстоянии 4l от нее;  расстояние 2BT = l . Найти, при каких значениях m массы точки T такое равновесие возможно.

Внимание!  В задаче допущена опечатка! Во фразе "стержень параллелен стороне OB и находится на расстоянии 4l от нее", расстояние должно быть l/4, а не 4l

Задача С3 (15 баллов)

Однородный куб 1 с длиной ребра l₁ установлен на неподвижной горизонтальной шероховатой плоскости; коэффициент трения равен f. Однородный куб 2 с длиной ребра l₂ установлен на неподвижной гладкой плоскости, образующей угол 0<альфа<пи/2 с горизонтом. Трение между кубами отсутствует. Найти, при каких значениях отношения масс кубов m₂/m₁ система может находится в равновесии.

Задача К1 (5 баллов)

Кривошип ОА длиной R вращается вокруг неподвижной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, по закону фи(t)=kt²/2, где k>0 – заданная величина. По стержню АВ, сохраняющему вертикальное положение, движется точка М по закону АМ=z=kRt²/2. Найти модуль абсолютной скорости точки М в произвольный момент времени t.

Задача К2 (10 баллов)

Диск радиусом R катится с проскальзыванием по неподвижной плоскости. В некоторый момент известны V_C, a_C; известно также, что a_B=0, и задано направление поворота диска (величина угловой скорости неизвестна). Найти в этот момент модули скоростей точек A и D.

Задача К3 (15 баллов)

Из положения, показанного на рисунке, катки 1 и 2 начинают катиться без проскальзывания по неподвижной горизонтальной плоскости. Проскальзывание доски также отсутствует. Начальное расстояние s, постоянная скорость доски v и радиусы R₂ и r₂ известны. Найти промежуток времени T, через который каток 1 столкнется с катком 2.

Задача Д1 (5 баллов)

Две одинаковые материальные точки движутся вдоль оси x. Силой тяжести пренебречь. На каждую точку действует сила сопротивления среды, модуль которой F=kmV², где  k – заданный коэффициент, m – масса точки, V – величина скорости точки. Первая точка начинает движение из начала координат со скоростью  2V₀, вторая – из положения с координатой x=L со скоростью V₀.  Найти промежуток времени  t₁ до встречи точек.

Задача Д2 (10 баллов)

На однородный диск намотана невесомая нить. Свободный конец нити тянут вдоль гладкой неподвижной наклонной плоскости с постоянным абсолютным ускорением a. Угол наклона плоскости к горизонту равен бэтта. Проскальзывание между диском и нитью отсутствует.  Найти модуль a_C ускорения центра диска.

Задача Д3 (15 баллов)

На катках 1 и 2  (однородные цилиндры)  массами m₁, m₂ и радиусами R₁,  R₂ соответственно лежит доска 3 массой m₃. Угол между доской и горизонтом равен a.  Проскальзывание между катками и горизонтальной плоскостью и между катками и доской отсутствует. Доска не отрывается от катков.   Найти ускорение a₃ доски.

Задача Д4 (20 баллов)

Однородный тонкий тяжелый стержень падает из вертикального положения с пренебрежимо малой начальной угловой скоростью, опираясь в точке A на горизонтальную и вертикальную плоскости. Влиянием трения пренебречь. Найти значение угла фи, при котором стержень оторвется от вертикальной плоскости в точке A.